Wycena instrumentów pochodnych

Świadczymy usługi w zakresie wyceny instrumentów pochodnych i praw do papierów wartościowych metodami matematyki finansowej. W szczególności realizujemy często zlecenia, w których wycena musi być zgodna z MSSF 2 (Międzynarodowym Standardem Sprawozdawczości Finansowej nr 2). Standardowo w tych wycenach papiery wartościowe są częścią pakietów motywacyjnych kadry kierowniczej (tzw. programy opcyjne).

Nasz zespół, w którego skład wchodzą: matematycy wyspecjalizowani w inżynierii finansowej, statystycy, aktuariusze i ekonomiści, posiada bogate doświadczenie w zakresie wyceny wielu instrumentów finansowych.

Jakie instrumenty pochodne wycenialiśmy?

głowa jak książki do wyceny instrumentów pochodnych

Naszą specjalizacją jest wycena instrumentów pochodnych z bardzo szerokiego portfela. Oto kilka z nich, które ostatnio wycenialiśmy:

  1. Opcje na akcje i inne:
    • europejskie (prawa nabycia, prawa sprzedaży),
    • amerykańskie (prawa nabycia, prawa sprzedaży),
    • opcje egzotyczne, np. opcje azjatyckie, opcje binarne (digital), look-back,
    • opcje walutowe,
  2. Kontrakty IRS (ang. interest rate swaps),
  3. Kontrakty terminowe:
    • futures,
    • forward,
    • na waluty.
  4. Obligacje zamienne.
  5. Warranty subskrypcyjne (emitowane np. w związku z realizacją programów motywacyjnych).

Różnorodna mechanika i modelowanie

Wycena instrumentów pochodnych często jest skomplikowana ze względu na ich rozmaitą mechanikę, nierzadko bardzo złożoną.

Dla przykładu, wypłata (ang. payoff) z opcji egzotycznej może zależeć od średniej ceny akcji w ustalonym przedziale czasu. Innym wskaźnikiem może być stosunek średniego rocznego wzrostu akcji do wzrostu wybranego indeksu giełdowego. Powoduje to konieczność odpowiedniego oszacowania i często symulowania różnych procesów, związanych między innymi z ruchami akcji na giełdzie.

Wycena takich instrumentów wymaga więc szerokiej wiedzy z zakresu modelowania stochastycznego. Tym niemniej w naszym zespole są eksperci od matematyki finansowej z dużym doświadczeniem w tym zakresie.

Model Blacka-Scholesa a poprawna wycena instrumentów pochodnych

skomplikowana wycena instrumentów pochodnych

Aby wycenić instrumenty pochodne, takie jak europejskie opcje kupna czy europejskie opcje sprzedaży wystawione na akcje, indeksy akcji lub waluty, powszechnie stosuje się modele wywodzące się z modelu Blacka-Scholesa. Trzeba jednak pamiętać, że ta elegancka matematyczna teoria opiera się na kilku nierealistycznych założeniach. Dla przykładu są to: brak podatków i kosztów transakcji, czy braku ograniczeń przy zajmowaniu pozycji krótkich czy długich.

Ponadto, analizy statystyczne pokazują, że tzw. geometryczny ruch Browna leżący u podstaw klasycznego modelu Blacka-Scholesa nie odzwierciedla statystycznych właściwości dynamiki cen:

  1. rozkład logarytmów stóp zwrotu nie jest normalny (tak jak zakłada się w modelu Blacka-Scholesa), a ma tzw. ciężkie ogony;
  2. zmienność (ang. volatility) zmienia się stochastycznie w czasie, co skutkuje obserwowaniem tzw. efektu gromadzenia zmienności (volatility clustering) – zaś model Blacka-Scholesa, zakłada że jest deterministyczna i stała w czasie;
  3. dodatkowo obserwuje się autokorelację w szeregach stóp zwrotu (wartości kolejnych stóp zwrotu zależą od poprzedzających wartości);
  4. trajektorie cen mają skoki, tymczasem model Blacka-Scholesa zakłada ciągłe trajektorie.

Bez trudu można odróżnić wykres ceny akcji zasymulowany zgodnie z modelem teoretycznym od wykresu dla danych historycznych. Mimo to część naszych klientów życzy sobie użycia modelu Blacka-Scholesa lub nawet modeli drzewkowych (np. by wycenić warranty subskrypcyjne), więc to realizujemy. Innym klientom oferujemy bardziej skomplikowane modele…

Dokładniejsze modele

Zastąpienie miary losowej brownowskiej przez znacznie ogólniejsze miary nieskończenie podzielne pozwala tworzyć modele bardzo dobrze dopasowane do danych historycznych. W konsekwencji można poprawić główne niedoskonałości modelu Blacka-Scholesa:

  1. obciążyć ogony rozkładu logarytmów stóp zwrotu,
  2. dodać miarę poissonowską odpowiedzialną za skoki cen,
  3. dopasować skośność czy kurtozę,
  4. uchwycić gromadzenie gęstości.

Przy wycenie instrumentów pochodnych kluczowa jest kalibracja

wycena instrumentów pochodnych - kalibracja modelu

Dla jakości wyceny instrumentów pochodnych właściwa kalibracja modelu jest sprawą kluczową.

Zwykle potrzebne jest określenie wartości takich parametrów jak stopa dyskontowa czy zmienność akcji. Można użyć w tym celu instrumentów dostępnych aktualnie na rynku, jak i historycznych notowań giełdowych.

Wybranie metody kalibracji odpowiedniej dla konkretnej wyceny jest jej integralną częścią. Warto dodać, że jest to szczególnie ważne w przypadku praw pochodnych, zależnych od kilku instrumentów podstawowych. W takiej sytuacji bardzo ważne jest bowiem uwzględnienie zależności między poszczególnymi składowymi.

Na koniec dodajmy, że przy kalibracji i walidacji modeli, które powstają indywidualnie dla każdego instrumentu, czynny udział biorą nasi statystycy i ekonomiści.

Chciałbyś rozpocząć z nami współpracę?

Chętnie przedstawimy Ci naszą ofertę. Wystarczy, że klikniesz przycisk "Proszę o ofertę!" i uzupełnisz znajdujący się tam prosty formularz ofertowy. To tylko pół minuty! Sprawdź nas! Warto!

Przewiń do góry