Prawa pochodne. Wycena i zarządzanie.

Świadczymy usługi w zakresie wyceny instrumentów pochodnych i praw do papierów wartościowych metodami matematyki finansowej. Realizujemy często zlecenia w których wycena musi być zgodna z MSSF 2 (Międzynarodowym Standardem Sprawozdawczości Finansowej nr 2), w których papiery wartościowe są częścią pakietów motywacyjnych kadry kierowniczej (tzw. programy opcyjne).

Nasz zespół, w którego skład wchodzą: matematycy wyspecjalizowani w inżynierii finansowej, statystycy, aktuariusze i ekonomiści, posiada bogate doświadczenie w zakresie wyceny wielu instrumentów finansowych. Instrumenty, w wycenie których posiadamy doświadczenie to:

  1. Instrumenty (prawa) pochodne:
    • opcje europejskie (prawa nabycia, prawa sprzedaży),
    • opcje amerykańskie (prawa nabycia, prawa sprzedaży),
    • opcje egzotyczne, np. opcje azjatyckie, opcje binarne (digital), look-back,
    • opcje walutowe,
    • kontrakty IRS (ang. interest rate swaps),
    • kontrakty terminowe futures,
    • kontrakty terminowe forward,
    • kontrakty terminowe na waluty,
  2. Obligacje zamienne,
  3. Warranty subskrypcyjne (emitowane np. w związku z realizacją programów motywacyjnych).

Model Blacka - Scholesa

Aby wycenić instrumenty pochodne, takie jak europejskie opcje kupna czy europejskie opcje sprzedaży wystawione na akcje, indeksy akcji lub waluty, powszechnie stosuje się modele wywodzące się z modelu Blacka-Scholesa. Trzeba jednak pamiętać, że ta elegancka matematyczna teoria opiera się na kilku nierealistycznych założeniach, takich jak brak podatków i kosztów transakcji, czy braku ograniczeń przy zajmowaniu pozycji krótkich czy długich.

Ponadto, analizy statystyczne pokazują, że tzw. geometryczny ruch Browna leżący u podstaw klasycznego modelu Blacka - Scholesa nie odzwierciedla statystycznych właściwości dynamiki cen:

  1. rozkład logarytmów stóp zwrotu nie jest normalny (tak jak zakłada się w modelu Blacka-Scholesa), a ma tzw. ciężkie ogony.
  2. zmienność (ang. volotality) zmienia się stochastycznie w czasie, co skutkuje obserwowaniem tzw. efektu gromadzenia zmienności (volatility clustering) (model Blacka-Scholesa, zakłada że jest deterministyczna i stała w czasie)
  3. dodatkowo obserwuje się autokorelację w szeregach stóp zwrotu (wartości kolejnych stóp zwrotu zależą od poprzedzających wartości).
  4. trajektorie cen mają skoki (model BS zakłada ciągłe trajektorie)

 

Bez trudu można odróżnić wykres ceny akcji zasymulowany zgodnie z modelem teoretycznym od wykresu dla danych historycznych.

Mimo to część naszych klientów życzy sobie użycia modelu Blacka-Scholesa lub nawet modeli drzewkowych (np. by wycenić warranty subskrypcyjne). I to robimy.

Innym klientom oferujemy bardziej skomplikowane modele...

Dokładniejsze modele

Zastąpienie miary losowej brownowskiej przez o wiele ogólniejsze miary nieskończenie podzielne pozwala tworzyć modele bardzo dobrze dopasowane do danych historycznych. Można poprawić główne niedoskonałości modelu Blacka-Scholesa:

  1. obciążyć ogony rozkładu logarytmów stóp zwrotu
  2. dodać miarę poissonowską odpowiedzialną za skoki cen
  3. dopasować skośnośc czy kurtozę
  4. uchwycić gromadzenie gęstości

 

Kalibracja

Dla jakości wyceny właściwa kalibracja jest sprawą kluczową, zwłaszcza w przypadku instrumentów pochodnych, zależnych od kilku instrumentów podstawowych, gdzie bardzo ważne jest uwzględnienie zależności między poszczególnymi składowymi.

Przy kalibracji i walidacji modeli, które powstają indywidualnie dla każdego instrumentu, czynny udział biorą nasi statystycy i ekonomiści.

 

Uwaga: w chwili obecnej nie prowadzimy działalności polegającej na doradztwie inwestycyjnym w zakresie wyceny instrumentów finansowych w rozumieniu ustawy z dnia 25 lipca 2005r. o obrocie instrumentami finansowymi (Dz. U. Nr 183 poz. 1538)